ľ¹Ï¸£ÀûÓ°ÊÓ

LET OP: Als een kandidaat een lekenpraatje houdt, start de livestream een kwartier eerder.

Algebraı̈sche meetkunde is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met het bestuderen van stelsels polynoomvergelijkingen en hun oplossingsverzamelingen. We noemen zo’n oplossingsverzameling een variëteit of schema. In plaats van dat we enkel afzonderlijke stelsels vergelijkingen bekijken, kunnen we ook proberen om de verzameling van alle stelsels vergelijkingen (in een vast aantal variabelen) in één keer te bekijken. Deze verzameling blijkt zelf ook weer door een stelsel vergelijkingen te kunnen worden omschreven. Het bijbehorende meetkundige object heet het Hilbertschema. Elk punt op het Hilbertschema komt dus overeen met een stelsel vergelijkingen.

In dit proefschrift focussen we voornamelijk op het Hilbertschema van punten. Dat wil zeggen dat we alleen kijken naar het deel van het Hilbertschema dat stelsels vergelijkingen parametriseert waarvan de oplossingsverzameling bestaat uit een eindig aantal punten. Dit blijkt een erg ingewikkeld object te zijn, met veel onregelmatigheden, ofwel singulariteiten. Zo voldoet het Hilbertschema van punten aan de algebraïsch-meetkundige versie van de wet van Murphy, wat betekent dat elke mogelijke singulariteit ergens op het HIlbertschema voorkomt.

Het Hilbertschema heeft echter ook een andere kant: het heeft erg goede eigenschappen als je kijkt vanuit het perspectief van de aftellende meetkunde. Dit komt door de aanwezigheid van zogenaamde virtuele structuren.

In dit proefschrift bestuderen we het Hilbertschema en enkele nauw verwante ruimten vanuit deze twee verschillende perspectieven. Aan de ene kant laten we zien dat deze ruimten zich vanuit het perspectief van singulariteiten nog slechter gedragen dan verwacht. Aan de andere kant vinden we ook nieuwe virtuele structuren op deze ruimten, en laten we zien dat deze vanuit de aftellende meetkunde juist erg goede eigenschappen hebben.