ľ¹Ï¸£ÀûÓ°ÊÓ

Dit proefschrift gaat over symplectische meetkunde, een deelgebied van de wiskunde. In dit deelgebied worden ruimten bestudeerd die met een symplectische vorm uitgerust zijn. Zo'n vorm meet de oppervlakte van een twee-dimensionale deelruimte. Symplectische meetkunde is ontstaan als een wiskundige manier om de klassieke mechanica te formaliseren. In de mechanica is de fasenruimte uitgerust met een kanonieke symplectische vorm. De tijdsontwikkeling van een mechanisch systeem wordt bepaald door de Hamiltonvergelijking. Hieruit volgt dat deze tijdsontwikkeling de symplectische vorm behoudt.

Dit proefschrift bestudeert twee typen van objecten die in de symplectische meetkunde belangrijk zijn. Het eerste hoofdresultaat beweert dat bladsgewijze vaste punten onder bepaalde voorwaarden bestaan. Bladsgewijze vaste punten veralgemenen op een natuurlijke manier vaste punten van Hamiltoniaanse tijdsontwikkelingen, dat wil zeggen, punten die na een gegeven tijdsperiode weer op hun oorspronkelijke plekken terugkeren. Aan de andere kant zijn bladsgewijze vaste punten punten wier baan alleen door een tijdsverschuiving verandert, na een tijdsafhankelijke storing van het Hamiltoniaanse systeem, bijvoorbeeld een aardbeving.

De aandere twee resultaten van dit proefschrift gaan over voortbrengende systemen van symplectische capaciteiten. Een (symplectische) capaciteit is een afbeelding die een positief reëel getal toekent aan elke symplectische ruimte en die monotoon en conform is. Monotonie betekent dat we aan een "grotere'' ruimte een groter getal toekennen. Conformiteit betekent dat de capaciteit |k| keer groter wordt, als we de ruimte k keer groter maken. Dit geldt voor elk reëel getal k dat ongelijk aan 0 is.

Een belangrijke vraag in de symplectische meetkunde is of de capaciteiten de symplectische ruimte op een unieke manier bepalen. Dit zou betekenen dat we een symplectische ruimte in een zekere zin zouden kunnen begrijpen in termen van een verzameling van getallen, namelijk de capaciteiten van de ruimte. Omdat deze verzameling reusachtig kan zijn, is het voor de hand liggend om een minimale verzameling van capaciteiten te zoeken, die in een zekere zin de informatie over alle andere capaciteiten bevat. Zo'n verzameling noemen we een voortbrengend systeem van capaciteiten. Preciezer gezegd is de hoofduitspraak dat elk voortbrengend systeem van capaciteiten (bijna) zo veel capaciteiten bevat als er in totaal zijn.