ľ¹Ï¸£ÀûÓ°ÊÓ

LET OP: Als een kandidaat een lekenpraatje houdt, start de livestream een kwartier eerder.

De getaltheorie is een prominente tak van de wiskunde die toegewijd is aan de studie van de gehele getallen. Een belangrijk thema hierbinnen is het bestuderen van speciale verzamelingen van getallen, zoals de priemgetallen, de kwadraten, kwadraatvrije getallen en nog veel meer. Voor zo’n verzameling zijn er twee belangrijke vraagstukken:

• Hoeveel zijn er, als een aandeel van alle getallen?
• Hoe zijn ze verdeeld?

In dit proefschrift worden analoge vraagstukken bestudeerd in hogere dimensies: in plaats van verzamelingen van getallen te bekijken, bestuderen we een brede klasse van verzamelingen bestaande uit tupels (a_1,…,a_n) van gehele getallen. Zo bestuderen we bijvoorbeeld de verzameling tripels (a_1,a_2,a_3) zodat het product a_1 a_2 a_3 kwadraatvol is: elk priemgetal dat het product deelt, deelt het ten minste twee keer.

Om dit soort verzamelingen te bestuderen wordt in dit proefschrift een algemeen meetkundig raamwerk van zogeheten M-punten opgezet, wat toestaat om de gereedschappen van de algebraïsche meetkunde te gebruiken. Dit raamwerk wordt gebruikt om een brede veralgemenisering van het Maninvermoeden te geven, van rationale punten op variëteiten naar de setting van M-punten. In het bijzonder geeft dit vermoeden een asymptotiek voor hoeveel tupels (a_1,…, a_n) er in de gegeven verzameling liggen zodat alle coördinaten kleiner dan B zijn als B naar oneindig gaat. Deze voorspelling is in het proefschrift bewezen voor torische variëteiten.

Hiernaast wordt in dit proefschrift bestudeerd hoe zulke verzamelingen verdeeld zijn. Dit kijkt in hoeverre een analoog van de Chinese reststelling geldt voor deze verzameling: wanneer kunnen p-adische M-punten worden benaderd door M-punten (over de gehele getallen)? In dit proefschrift wordt hier voor torische variëteiten een precies antwoord op gegeven, wat de resultaten van sterke benadering voor torische variëteiten sterk uitbreidt.